MATEMATICAS E-PORTAFOLIO: marzo 2015

martes, 10 de marzo de 2015

GRAFICAS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

Función Cuadrática (Parábola)

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante. A esta distancia constante se le denomina longitud del eje transverso. También existe el eje conjugado, perpendicular al eje transverso y de longitud finita.
La hipérbola puede tener el eje transverso paralelo al eje “X”, paralelo al eje “Y” o bien oblicuos.

Ecuación de una hipérbola.

Al igual que en las demás cónicas, los nombres de las constantes que se han dado a las coordenadas del centro de la hipérbola son “h” para la abscisa y “k” para la ordenada. La longitud del eje transverso se denomina 2a y la del eje conjugado 2b. Las constantes mencionadas son datos que se requieren para determinar la ecuación de la hipérbola en estudio. La forma canónica de dicha ecuación es:

Elisep o Circuferencia

Elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse A A' y la mediatriz de los mismos eje secundario P P'.

La circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)

d(P,C) = cte = radio

Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene

Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuación reducida

SEGMENTACIÓN EN LA RECTA

Segmentación en la Recta

Recta: es una línea continua que esta formada por infinitos puntos en la misma direccion, la recta no tiene inicio ni fin

Semirrecta: es parte de una recta. En una recta si ubicamos un punto, esta delimitara dos semirrectas
se caracteriza por que tiene un inicio pero no un final.

Segmento de recta: si tomamos 2 puntos en una recta (T y S), el segmento de recta sera el conjunto de puntos comprendidos entre T y S.

se caracteriza por que :
Es una porcion o parte de una recta.
es la menor distancia posible entre dos puntos.
y por que tiene un principio y un final, por ende es suceptible de ser medido.

Segmentos consecutivos colineales: son los que tienen un extremo en comun, y si pertenecen a la misma recta
Segmentos consecutivos no colineales: son los que tienen un extremo en comun, pero, no pertenecen a la misma recta. (un ejemplo se puede ver en estos vectores)
.
.
Propiedad de la suma de segmentos: cumple con la propiedad asociativa y conmutativa.

Suma de Segmentos: para sumar dos o más segmentos hay que llevar sobre una recta y unirlos por un extremo. El resultado de la suma es la longitud que se obtenga.
Diferencia de segmentos: Para restar dos segmentos hay que superponerla para que coincidan en un extremo. La parte que sobra del mayor segmento es el resultado.

Mediatriz de un segmento: Es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio y lo divide en dos partes iguales.

Segmentos Concatenados: Son segmentos que tienen un punto en común, pero pertenecen a distintas rectas.

RESOLUCIÓN DE GRÁFICAS SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Resolución de Gráficas Sistema de Ecuaciones con dos Incógnitas

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

Sistemas método gráfico rectas paralelas

GRÁFICAS DE FUNCIONES

Gráficas de Funciones

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

Gráficas de Funciones Lieneales de Primer Grado

Función constante

y = n

Función identidad

f(x) = x

Función lineal

y = mx

Función afín

y = mx + n

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Desigualdades e Inecuaciones

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Hemos visto ecuaciones de 1º y 2º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre finito, o sea, una solución, dos soluciones. En este tema veremos un concepto nuevo, el de inecuación, el cual consiste en hallar los valores que cumplan una cierta expresión (desigualdad) matemática. En este caso, por regla general el número de oluciones será infinito.

Ecuación: 2x = 10 ; x = 5 como podemos comprobar la solución es única.

DEFINIENDO.-Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras, llamadas incógnitas. ¿Para qué valores de x es cierto que ... < ... (Miembro de la izquierda es menor que el de la derecha? Las respuestas a esta pregunta es el conjunto solución de la inecuación.

CONJUNTO SOLUCION.- Es el conjunto de valores de la incógnita que reemplazados en la inecuación, verifican la desigualdad. la solución de una inecuación generalmente se presenta por medio de INTERVALOS

Propiedades de las desigualdades:

1ª) Si se suma un número a los dos miembros de una desigualdad, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la primera (equivalente a la primera).
2ª) Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, la desigualdad que resulta no varía su sentido. En cambio si el número es negativo, cambia el sentido de la desigualdadPara que afianzes tu conocimiento te bridamos ejercicios resueltos de inecuaciones de primer grado
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRATICAS
Son inecuaciones que después de simplificar adoptan la siguiente forma:
ax2+bx+c ≥ 0 ó ax2+bx+c ≤ 0; donde: a es ≠ 0
Para resolver podemos hacerlo mediante dos métodos: COMPLETANDO CUADRADOS y por PUNTOS CRITICOS
METODO 1: COMPLETANDO CUADRADOS
Veamos primero las siguientes propiedades de desigualdades:

Ejercicios resueltos de Inecuaciones Cuadráticas por el método de COMPLETANDO CUADRADOS
METODO 2: PUNTOS CRITICOS Este método se emplea para trinomios que puedan ser factorizados. De acuerdo a los siguientes procedimientos:
1. Se factoriza la expresión dada
2. Se halla los PUNTOS CRITICOS igualando cada factor a cero
3. Se ubican los PUNTOS CRITICOS en la recta numérica quedando dividida en tres partes o intervalos
4. Partimos del lado derecho que siempre es POSITIVO, los signos en los intervalos son ALTERNADOS con el signo NEGATIVO
5. Los intervalos que se consideran como CONJUNTO SOLUCION son los que hacen coincidir sus signos + ó – con el signo de orden de la desigualdad
Ejercicios resueltos de Inecuaciones Cuadráticas por el método de PUNTOS CRITICOS

ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

Ecuaciones Lineales con tres Incógnita

$\left. \begin{array}{rcl} x+y+z & = & 4 \\ x-2y+3z & = & 13 \\ x+3y+4z & = & 11 \end{array} \right\}$

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
$x=4-y-z$

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:
$\left. \begin{array}{rcl} 4-y-z-2y+3z & = & 13 \\4-y-z+3y+4z & = & 11 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} -3y+2z & = & 9 \\ 2y +3z & = & 7 \end{array} \right\}$
Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:
$z=\dfrac{9+3y}{2 }=\dfrac{7-2y}{3}$
$27+9y=14-4y$
$13 y = -13$
$y=-1$
$z=\dfrac{9+3 \cdot (-1)}{2}=3$
Sustituimos los dos valores obtenidos en $x= 4-y-z$
$x= 4+1-3=2$

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuaciones Lineales con dos Incógnita

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una relación entre dos números desconocidos (llamados incógnitas) de la forma , los números a y b se llaman coeficientes y cumplen : y y c se llama término independiente. Solución de la ecuación es cualquier par de números que sustituidos en lugar de x e y verifican la igualdad.

Ejemplo #01

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3

X = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 3

3 + 6Y = 3

-3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos:

6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que

Y = 0/ 6

Y = 0 y asi hallamos en valor de Y.

ECUACIONES LINEALES

Ecuaciones Lineales con un Incógnita

Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido.

• El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.

• Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades: Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión. Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.

Ecuación Algebraica Simple

Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que nos permitirá descubrir el valor desconocido o incógnita de un problema.

Veamos el siguiente ejemplo:


	(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)
	(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)
	(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)
	(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)


	(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)
	(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)
	(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

Resolución de ecuaciones con productos incluidos

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

Observemos un ejemplo:


	Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.
	Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
	Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
	Despejamos x pasando 3 a dividir.