Ecuaciones Lineales con un Incógnita
Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido.
• El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.
• Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad.
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades: Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión. Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.
Ecuación Algebraica Simple
Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que nos permitirá descubrir el valor desconocido o incógnita de un problema.
Veamos el siguiente ejemplo:
Veamos el siguiente ejemplo:
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(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)
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(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)
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(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)
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(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)
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(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)
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(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)
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(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.
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Resolución de ecuaciones con productos incluidos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).
Observemos un ejemplo:
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Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.
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Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
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Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
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Despejamos x pasando 3 a dividir.
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Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]
( x + ) (x - ) = 0
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(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 |  |
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1 = 8 + 1
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x2 + 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
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x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
ax2 +bx +c = 0
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
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